SAKARYA'DA BAŞLADI
24 yaşındaki Salih, futbola 10 yaşında Sakarya'nın Adapazarı ilçesinde mahallesinin amatör kulübü olan Garajlar Taç Spor'da başladı. 1 yıl sonra bir turnuvada kendisini beğenen ve transfer etmek isteyen Sakaryaspor'a geçiş yaptı. Sakaryaspor altyapısında 7 yıl boyunca forma giydi. Henüz 18 yaşında olmasına rağmen A takıma çıkmayı ve burada oynama şansı bulmayı başardı.
Genç oyuncu 2011-2012 sezonu sonunda Kayserispor'a transfer olarak Süper Lig'in yolunu tuttu. 27 Ağustos 2011 günü oynanan Antalyaspor deplasmanında ilk Süper Lig maçına çıktı ve 78 dakika sahada kaldı ancak takımı sahadan 3-0 mağlup ayrıldı. Salih, Süper Lig'de ilk golünü ise 9 Aralık 2012 tarihinde Trabzonspor ile deplasmanda oynanan maçta attı. Bu sezon 26 resmi maçta forma giyen Salih, sezonu 3 golle kapadı.
GALATASARAY'A TRANSFERİ
2013-2014 sezonuna da Kayserispor'da başlayan Salih Dursun, devre arasında Galatasaray'ın yolunu tuttu. Sarı-kırmızılıların 2.7 milyon Euro'ya transfer ettiği Salih Dursun, Galatasaray forması ile 6 maça çıktı ve 362 dakika sahada kaldı. Sahada kaldığı süreçte sadece 59 saniye topla oynadı ve Trabzonspor'un yolunu tuttu. Galatasaray kariyerinde bir de Türkiye Kupası kazandı.
2013-2014 sezonunun bitmesiyle Salih'in adı Kardemir Karabükspor, Eskişehirspor ve Mersin İdmanyurdu ile anıldı. Olcan Adın'ın transferi için Trabzonspor ile anlaşan Galatasaray, ödenen 4 milyon Euro bonservis bedeline ek olarak 2 yıllığına Salih Dursun'u Trabzonspor'a kiralık olarak gönderdiğini açıkladı. Ayrıca 1.750.000 Euro'luk satın alma opsiyonu da Trabzonspor'a verildi.
2014-2015 sezonunda bordo-mavili takım ile 36 resmi maça çıkan genç oyuncu, 1 kez fileleri sarsarken, bu sezon ise 10 maçta forma giyerek şu ana kadar 1 gole imza attı.
MİLLİ TAKIM KARİYERİ
Salih Dursun kariyerinde ilk kez Milli formayı A2 kategorisinde giydi. Gökhan Keskin yönetimindeki takıma Mayıs 2012'de çağrılan Dursun, Ertuğrul Taşkıran, İshak Doğan, Aykut Demir, Ferhat Kiraz, Necip Uysal, Kağan Söylemezgiller, Ali Kuçik, Emre Güral, Kemal Tokak ve Sakaryaspor'dan eski takım arkadaşı Berat Çetinkaya gibi oyuncular ile birlikte ilk kez 23 Mayıs 2012'de Japonya A2 takımı karşısına çıktı. Touloun turnuvası kapsamında oynanan bu maçı Türkiye 2-0 kazandı. Bu turnuvayı 4 maçla bitiren Salih daha sonra Rusya A2 ile oynanan hazırlık maçı ve Galler'in A2 takımıyla oynanan International Challenge Trophy turnuvası için kadroya iki kere daha çağrıldı. Ağustos 2013'te ise Fatih Terim yönetimindeki ve yeniden yapılanmaya giden A Milli Takım kadrosuna çağrıldı. Salih 22 numaralı formasıyla Hollanda, Estonya ve Andorra maçlarında yedek kulübesinde oturdu ve forma şansı bulamadı.